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傅里葉變換的提出讓人們看問題的角度從時域變成了頻域，多了一個維度。快速傅里葉變換算法的提出普及了傅里葉變換在工程領域的應用，在科學計算和數字信號處理等領域，離散傅里葉變換（DFT）至今依然是非常有效的工具之一。

比如下圖是一個幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結果。

可以得到原始matlab代碼

信噪比（SNR）是信號與噪聲的比率，它是衡量通信或模擬系統性能的重要指標之一，與傅里葉變換更是有千絲萬縷的聯系。在很多情況下，我們是通過傅里葉變換來評估信噪比，如果評估方法不對，很難的到我們期望的結果，經常會事與愿違。

求解SNR的過程，我們是用‘評估SNR’來描述，這就是說我們無法精確計算出SNR，只能進行評估，事實也是如此。

評估SNR的方法分為時域和頻域兩種。我們以一組離散樣本點為分析目標，看下如何評估SNR，及其誤區。

時域估計SNR

Xs(n)為信號序列，Xn(n)為噪聲序列，則信號X(n)=Xs(n)+Xn(n)，是一組帶噪離散序列，在時域上評估X(n)的信噪比公式如下：

其意義為分別求取離散信號、噪聲功率和，計算二者之比。這里有個前提是，我們需要分離出信號與噪聲，然后才能求解，

然而問題也在于此，對于一段給定的離散時間序列，我們很難完全分離出信號和噪聲，所以時域評估SNR是有局限性的，而且不夠直觀，所以通常我們在頻域下求解。

頻域估計SNR

在頻域上的SNR計算原理和時域很接近，還是求信號功率與噪聲功率只比。最簡單的方法是在頻譜X(m)上設置閾值，閾值之上為信號，閾值之下為噪聲。這樣就會有閾值設置帶來的估計準確性問題，同時信號頻帶范圍內或多或少也會有噪聲疊加進來，在頻域計算SNR也是一個近似。

SNR以dB作為單位，SNR(dB)=10*log10(SNR)。

我們往往使用Matlab評估SNR，Matlab是非常強大的數學工具，其集成了SNR計算函數，如果應用不正確，誤差會非常大，無法得到預期結果，舉例如下。

下圖是一個幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結果。

用Matlab SNR函數計算計算信噪比的結果如下，藍色為感興趣的信號成分，橙色為噪聲。這個頻域圖就可以表征SNR，橙色的噪聲數值越小、越低，說明信噪比越高、越好。即使紅色圓圈部分有一點噪聲，在評估單頻率成分信號的SNR時，這依然是一個非常有效的手段。

假如一信號x(n)=sin(4pi*t)+0.5*sin(18pi*t),如下圖是一個幅度為1、頻率為2Hz的正弦波疊加幅度為0.5、頻率為9Hz的正弦波的結果。

用Matlab SNR函數計算計算信噪比的結果如下，藍色為感興趣的信號成分，橙色為噪聲，matlab舍棄了頻率為9Hz、能量少的成分，只計算了2Hz信號的信噪比。

所以倘若我們的感興趣信號比較復雜，就不能直接用SNR函數直接計算。

所以我們一定要在理解DFT與SNR關系的基礎上，正確使用matlab才能得到期望的SNR結果。

在過采樣中，信噪比、ADC有效位數、過采樣率是有千絲萬縷的聯系，了解了基本的概念后，我們一步一步理解過采樣的原理。