由于整個系統采用了GaN方案，提高了功率密度等級，為了進一般縮小體積，我這里嘗試使用平面變壓器技術來進一步提高功率密度。在進行平面變壓器設計之前，我收集整理相關磁元件的損耗資料，為下一階段的平面變壓器設計提供理論支撐。文章中涉及的損耗模型和計算公式同樣適用于常規繞線變壓器

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磁芯損耗

平面磁芯損耗 Pcore 主要由磁滯損耗Ph、渦流損耗Pe 和剩余損耗Pr 三部分組成

$P_{core}=P_{h}+P_{e}+P_{r}$

磁滯損耗Ph

在磁性材料上施加一個交變的磁場，其磁通密度 B 隨磁場強度 H 的變化曲線如圖

磁滯回線描述了 B 與 H 的聯系，顯示了磁通密度滯后于磁場強度的現象，即磁滯現象。磁滯損耗 Ph 為磁化磁性材料過程中，由于磁化的不可逆性，因克服摩擦所產生的損耗，單位體積的磁芯磁滯損耗與磁滯回線在一個周期內所包圍的面積 Sh 成正比，其表達式為：

$S_{h}=2\int_{B_{-r}}^{B_{r}}HdB$

其中：磁場強度H的公式為 $H=\frac{NI}{l_{e}}$ 在這個公式中，H代表磁場強度，單位是安培每米（A/m）；N是勵磁線圈的匝數，也就是線圈的圈數；I是勵磁電流的大小，單位是安培（A）；Le是測試樣品的有效磁路長度，單位是米

螺紋線圈中磁場感應強度B的公式為

$B=\frac{μ_{o}NI}{2πr}$

μ0是真空中的磁導率

在變壓器磁芯材料中B與H的關系式 $B=μH$ ，μ是磁性材料的磁導率

同時磁滯損耗也與磁化頻率 $f_{core}$ 成正比。

渦流損耗Pe

給磁芯施加一個交變磁場會在磁芯內產生感應電流，由于磁芯本身存在一定的磁阻，因此感應電流會在磁芯中產生損耗，這部分損耗為渦流損耗 Pe。渦流損耗的大小與磁通變化頻率 $f_{core}$ 和磁芯電阻率 $ρ_{core}$ 有關。

## 剩余損耗P在給磁芯施加一個交變磁場磁化過程中，磁芯的磁化狀態并不隨著磁場強度 B 變化而立即變化，該效應為磁化弛豫效應，磁化弛豫效應帶來的磁芯損耗為剩余損耗 Pc。

高頻應用下，磁芯渦流損耗 Pe 和剩余損耗 Pr 超過磁滯損耗 Ph占據主導，在計算高頻理論磁芯損耗時，通常應用 Steinmetz 公式，其表達式為：

$P_{v}=K\cdot f^{\alpha}\cdot B_{m}^{\beta}$

其中 $P_{v}$ 為磁芯單位體積內的功率損耗，K、α、β 為正弦激勵下不同頻率與不同磁感應強度下對應單位體積的磁芯損耗所擬合出的三個系數，f 為磁芯的工作頻率， Bm 為磁芯的最大磁通密度，其值為磁芯的磁感應強度擺幅?B 的一半。根據法拉第定律，可以得到磁感應強度擺幅?B 的表達式為：

$∆B=\frac{V\cdot ∆t}{N \cdot A_{e}}$

其中 N 為磁性元件繞組匝數，Ae為磁芯的有效導磁面積， $V⋅∆t$ 代表伏秒。

理論磁芯損耗 Pcore為單位體積內的功率損耗 Pv與磁芯體積 Vcore的乘積

$P_{core}=P_{v}\cdot V_{core}$

繞組損耗

平面繞組損耗也稱銅損，主要由直流損耗 Pdc與交流損耗 Pac兩部分組成：

$P_{au}=P_{ac}+P_{dc}$

直流損耗 Pdc

其中直流損耗為

$P_{dc}=I_{dc}^2 \times R_{dc}$

直流電阻 Rdc又可表示為：

$R_{dc}=ρ\frac{l}{s}$

其中 ρ 為繞組電阻率，s 為繞組流過電流的截面積，l 為繞組總長度

交流損耗 Pac

交流損耗為

$P_{ac}=I_{ac}^2 \times R_{ac}$

繞組的交流電阻與很多因素有關，其中包括繞組自身的因素與磁芯氣隙因素,磁元件中的磁通分布包括主磁通，旁路磁通與擴散磁通三部分。

1. 主磁通僅在磁芯中流通，不與平面繞組產生交鏈。
2. 旁路磁通由相鄰磁柱的磁動勢差產生，磁力線及經過磁芯與繞組，不經過氣隙。
3. 擴散磁通由氣隙產生，磁力線經過氣隙與繞組。

因此繞組自身的因素主要影響旁路磁通引起的平面繞組損耗，氣隙的因素主要影響擴散磁通引起的平面繞組損耗，主要表現為繞組的集膚效應與鄰近效應

旁路磁通帶來的影響

集膚效應

高頻下平面繞組自身集膚效應示意圖

A、B 為放置于磁芯中的兩個平面繞組，流經兩個平面繞組的高頻電流分別為 iA和 iB，對于平面繞組中部的線電流，如圖中紅色箭頭所示，變化的電流在繞組周圍產生的交變磁通穿過平面繞組表面，如圖中所示，“×”代表磁通方向垂直流入平面繞組表面，“·”代表磁通方向垂直流出平面繞組表面。產生的交變磁通會在平面繞組中圍繞磁力線感應出逆時針方向的渦流，因此會使平面繞組中部的電流減小，繞組兩側的電流增大。同理，繞組上下表面的電流也會高于繞組中部的電流。集膚效應導致了平面繞組的實際通流面積減小，增加了交流電阻。

工程上將導體中電流密度減小到導體表面的電流密度的 1/e (e=2.71828183)處的深度定義為集膚深度 δ，其表達式為：

$\delta= \frac{1}{\sqrt{\pi\sigma\ µ_{o}µ_{r} f_{sw}}}$

其中 µo 為真空磁導率，σ 為電導率，fs為工作頻率。對于平面 PCB 繞組， $µ_{o}= 4π×10^{-7}$ , $µ_{r}$ 為材料的相對磁導率非磁性材料如銅，近似為1。銅的電導率為 $5.8×10^7S/m$ 。材料的絕度磁導率公式為 $µ= µ_{o}µ_{r}$ 可知工作頻率 f 的增加，會使集膚深度δ減小，交流電阻 Rac增大。但是采用PCB為繞組的方案由于其銅箔的一般為35um，其在實際應用中系統開關頻率一般在200KHz內，經過計算其值遠小于受集膚深度，故可以忽略。

鄰近效應

同層 PCB中的兩個匝間平面繞組 A、B。

當流過兩個平面繞組中電流 iA和 iB同向時

應用實例如平面電感的同層多匝繞組，其電流方向同向，如圖 (a)所示。平面繞組 A 中變化的電流 iA在繞組 A周圍產生的交變磁通 ΦAB 穿過平面繞組 B 表面，其磁通方向如圖中所示，產生的交變磁通 ΦAB 會在平面繞組 B 中圍繞磁力線感應出逆時針方向的渦流，同理平面繞組 B 產生的交變磁通 ΦBA 也會在平面繞組 A 中圍繞磁力線感應出逆時針方向的渦流，帶來共同作用結果是，A、B 繞組相靠近的部分電流密度減小，相互遠離部分的電流密度增大。

當流過兩個平面繞組中電流 iA 和 iB 反向時

應用實例如平面電感的同層端接，其電流方向相反，如圖 (b)所示。受交變磁通 ΦAB 與 ΦBA 影響，在 A、B 感應出的渦流使兩繞組相靠近的部分電流密度增大，相互遠離部分的電流密度減小。

不同層 PCB中的兩個匝間平面繞組 A、B。

當流過兩個平面繞組中電流 iA 和 iB 同向時

應用實例如平面電感的不同層繞組，其電流方向相同，如圖(c)所示。上層繞組 A 中變化的電流 iA 在其周圍產生的交變磁通 ΦAB 穿過下層平面繞組 B 表面，在平面繞組 B 中圍繞磁力線感應出逆時針方向的渦流，同理下層平面繞組 B 產生的交變磁通ΦBA也會在上層平面繞組 A 中圍繞磁力線感應出逆時針方向的渦流，帶來共同作用結果是，A、B 繞組相靠近的部分電流密度減小，相互遠離部分的電流密度增大。

當流過兩個平面繞組中電流 iA 和 iB 反向時

應用實例如平面變壓器的不同層原副邊繞組，其電流方向相反，如圖(d)所示。受交變磁通 ΦAB 與 ΦBA 影響，在 A、B 感應出的渦流使兩繞組相靠近的部分電流密度增大，相互遠離部分的電流密度減小。工作頻率越高，鄰近效應產生的影響也就大

擴散磁通的影響

在平面變壓器設計時，需要將勵磁電感、漏感與變壓器集成，為了得到所需勵磁電感的感值，需要對平面變壓器開氣隙，氣隙也是影響繞組交流電阻的另一個因素。對于只在磁芯中柱開氣隙的情況下，氣隙的擴散磁通對繞組的影響如圖所示。氣隙帶來的擴散磁通 Φ 穿過平面繞組，在繞組中圍繞磁力線感應出逆時針方向的渦流，帶來的作用結果為繞組靠近氣隙處的電流密度增大，遠離氣隙處的電流密度減小，因此擴散磁通的作用也會使得繞組通流面積減小，交流電阻增大。越靠近氣隙的繞組收到氣隙帶來的擴散磁通的影響也最大。為了降低因氣隙擴撒磁通帶來的繞組損耗一種方法是采用繞組遠離氣隙的方法，使氣隙所帶來的擴散磁通到頂層繞組的磁通足夠小，這就需要磁芯的高度足夠高，一方面增加了磁芯的體積，進而增大了磁芯損耗，另一方面，對于多層的平面繞組設計中不利于功率密度提升。

下圖給出了每層單匝平面繞組的 ANSYS Maxwell 3D 電流密度的仿真結果。可以看出，磁芯窗口內的平面繞組由于集膚效應的影響，繞組邊緣的電流密度，大于繞組中心的電流密度，加之磁芯氣隙擴散磁通的影響，靠近磁芯中柱的邊緣繞組(如 B 處)比靠近磁芯邊柱的邊緣繞組(如 A 處)的電流密度處大。對于端接(如 C 處)，由于集膚效應與臨近效應的共同影響，其造成了電流密度不均，部分過孔未被利用。